Pohdintaa vargalaisesta 6. luokan matematiikasta kotierkkaopetuksessa

Matematika 6. tankönyv. 2021. Csahóczi E., Csatár K., Kovács Cs.-né, Széplaki Gy.-né, Morvai É., Csapodi Cs., Fried K. Oktatási Hivatal: Budapest.

Tässä blogitekstissä kerron kokemuksistamme unkarilaisesta 6. luokan matematiikasta, jota  opiskelimme kotona 16-vuotiaan autismikirjon nuoren kanssa 2023–24. 

Kaikki unkarilainen peruskoulun matematiikka ei suinkaan pohjaudu tiiviisti Tamás Vargan (1919–1986) opetusmenetelmään, vaikka Suomessa on tullut tavaksi puhua "unkarilaisesta matematiikasta" silloin, kun tarkoitetaan ns. Varga–Neményi -menetelmää. Varga–Neményi ry on suomalaistanut Unkarin alakoulun eli luokkien 1.-4. materiaalit, mutta Unkarin yläkoulun eli luokkien 5.–8. materiaaleja ei ole saatavilla suomeksi. Onneksi minun ei tarvinnut itse etsiä  mahdollisimman "vanemaista" jatkoa Matematiikkaa 1–4 -materiaaleille, sillä Anni Lampinen osasi vinkata tämän kirjasarjan. Kiitokset siis!

VaNe-lyhenteen "Ne" viittaa Eszter C. Neményiin, joka ei ole yläkoulun materiaaleja ollut tekemässä, joten tuntuisi hassulta puhua näistä Unkarin yläkoulun matikankirjoista "vanena". En käyttäisi mielelläni myöskään ilmaisua "unkarilainen matikka", koska monet unkarilaiset kirjasarjat eivät ole ollenkaan samantyyppisiä kuin meidän käyttämämme materiaali. Koska en tiedä, kuka pedagogi ja yläkoulun kirjantekijä olisi ikään kuin "Ne" eli "yläkoulun Eszter", päädyin kutsumaan näitä Erzsébet Csahóczin ja kumppaneiden tekemiä kirjoja "vargalaisiksi", vaikka varmasti olisi olemassa parempikin ilmaus.

Useimmat Unkarin opetushallituksen (!) julkaisemat oppilaan ja opettajan kirjat ovat hyvän aikaa olleet luvallisesti (!) ja ilmaiseksi (!) ladattavissa opetushallituksen oppikirjaluettelossa (linkki 6. luokan materiaaleihin). Ainakin ylempien luokkien kirjoista on hiljattain julkaistu uuden opetussuunnitelman mukaiset painokset, mutta uuden ja vanhan eroista en valitettavasti osaa sanoa mitään. Kuutosesta käytimme vanhaa, koska uusi ei ollut toissa talvena tullut vielä ulos, mutta päädyin valitsemaan seiskan uudet materiaalit siksi, että niistä on ladattavissa myös työkirja (!).

Miten ja miksi päädyimme vanettamaan kotona?

Erityiskoulua käyvä autistilapseni teki koulussa kuutosluokan alussa toisen ja kolmannen luokan matikantehtäviä, ja ilmeisesti työskentely oli lähinnä aukeamien täyttämistä itsenäisesti ja tarvittaessa avustajan kanssa. Olimme välillä kokeilleet jonkinlaista matikan korjaavaa opetusta pahimpaan hätään, mutta aiempina alakouluvuosina emme pystyneet opiskelemaan kotona säännöllisesti.   

Päädyimme aloittamaan systemaattisen kotiopiskelun Matematiikkaa 3:a mukaillen syksyllä 2019 lapsen 6. luokan alussa varmaankin siksi, että olin saanut kirjat lahjaksi (kiitos Hannele Ikäheimo!). En muista, miksemme aloittaneet 1.–2. luokan materiaaleilla. Nyt ehdottomasti aloittaisin ykkösestä, niin tulisi vahva pohja käsitteiden hallintaan ja kaikkeen muuhunkin.

VaNeen tarttuminen hirvitti, sillä menetelmän vahvuudet ovat kuin lista asioista, jotka autismikirjolla ovat tunnettu haaste. Kielentäminen törmää semanttis-pragmaattiseen kielivaikeuteen, yhdessä välineillä ja omalla keholla tekeminen sosiaalisuuden haasteisiin ja siirtymätilanteista kuormittumiseen. Joustava ja kokonaisvaltainen ajattelu  ei ihan käy yksiin keskeiskoherenssin puutteen kanssa. Kotona pystyimme kuitenkin strukturoimaan opetutustuokiot ja säätelemään toiminnallisuuden laatua ja määrää lapsen akuutin tilanteen mukaan. Silti alkuun uuden työtavan opettelu oli työlästä molemmille, ja välineillä työskentely aiheuttivat lapsessa pitkään suurta vastarintaa. Omalla keholla tekeminen ei suju vieläkään. Ei kaiketi ihme, että alussa vanetus oli niin riisuttua, ettei sitä olisi vaneksi edes tunnistanut. Kuitenkin 3. luokan materiaaleissa oli selvä punainen lanka, josta jotenkin saimme kiinni, ja se alkoi mystisesti kantaa ilman, että pystyn tarkemmin erittelemään, mitä missäkin vaiheessa tapahtui ja miksi.

Koko kotiopetus ei luultavasti olisi onnistunut lainkaan, jollei lapsella olisi sisäsyntyistä tarvetta saada säännöllisesti keskittyä rauhalliseen, pähkäilevään tekemiseen omaan tahtiinsa. Pienempänä kiintiön täyttivät ekkoihin (erityiskiinnostuksenkohteisiin) liittyvä piirtäminen ja askartelu, myöhemmin ristikot, sudokut ja palapelit. Matikka alkoi täyttää tätä tarvetta, ja meille on tullut rutiiniksi tehdä lähes päivittäin noin puolikkaan tai kokonaisen oppitunnin verran matikkaa.

Kevättalvella 2020 tuli korona ja kotikoulu, ja vaikka arkirutiinien katkeaminen kuin seinään aiheutti melkoisen myrskyn, niin paradoksaalista kyllä vanetus alkoi sujua yhtäkkiä paljon paremmin. Samalla lapsi halusi tehdä 1.–2. luokan oppikirjat puuhakirjan tavoin itsekseen. Se varmasti vähän paikkasi suoraan kolmosesta aloittamisesta syntynyttä aukkoa. Seiskaluokalle siirryttäessä matikkayhteistyö koulun kanssa onnistui, ja käytössä oli Matematiikkaa 4 niin, että pohjustimme kotona uudet aiheet, jotta koulussa lapselta sujuivat ne tehtävät, jotka siellä pystyi itsenäisesti tekemään. 8.–9. luokalla tämä malli ei enää jatkunut, eikä kyllä ollut suomalaistettua viitosen Varga-materiaaliakaan, joten söhlin kahden suomalaisen sarjan 5.–6. luokan kirjojen kanssa käyttäen osittain myös unkarilaista 5. luokan aineistoa. Yläkoulun loppuaikana olin huomaavinani, että aiemmin jo oraalle päässeen VaNe-ajattelun (vahva käsitteiden hallinta ja joustava kyky yhdistellä matematiikan eri ilmiöitä toisiinsa) tilalle tuli mekaaninen (joskin taitava) laskeminen.

Ysiluokan lopulla uskalsin ottaa käyttöön tässä käsiteltävät vargalaiset 6. luokan kirjat, joilla aloitimme systemaattisesti alusta. Joissakin aiheissa (geometria sekä yleensäkin sanalliset tehtävät, varsinkin loogisten väitteiden sanalliset osuudet) tarvittiin paljon enemmän tukea monella tasolla. Käytin lisävälineiden ohella runsaasti käsitekortteja silloin, kun uusien käsitteiden leksikaalinen osuus tuotti erityistä päänvaivaa.

Vieraskielisen kirjan käytöstä

Unkarin kuutosen sisällöt eivät tietenkään ole suomalaisen opetussuunnitelman mukaisia, joten mukana on meikäläisittäin 7.–8. luokan asioita samoin kuin sellaisia, joita täällä ei käsitellä koulumatikassa ollenkaan.

Kovasti kaipasin Annin ja kumppaneiden laatimaa perusteellista opettajan opasta. Vaikka 5.–6. luokan opettajan kirjoissa onkin välillä alustuksia ja selityksiä, ovat ne sangen satunnaisia. Useimmiten piti itse yrittää teoriaosuuden esimerkkien pohjalta päätellä, mitä missäkin välissä tapahtuu, mihin suuntaan on tarkoitus edetä ja ennen kaikkea miksi: mikä on taustalla vaikuttava isompi kuvio? Tehtävien vastaukset opettajankirjassa eivät aina ole normaaleja mallivastauksia, vaan ne saatetaan antaa matemaattisten sääntöjen tasolla, jolloin opettajan on mekaanisen tarkistamisen sijaan pakko ymmärtää, mistä tehtävässä oikeasti on kysymys.

Unkarinkielisen kirjan käyttö osoittautui helpommaksi kuin alkuun kuvittelin sikäli, että vain muutaman tehtävän joutui jättämään pois ylenpalttisen kielellisyyden takia. Muuten tekstiä on runsaasti, paljon enemmän kuin missään matikankirjassa olen kuunaan nähnyt, enkä valitettavasti pystynyt muuhun kuin pikaisiin suomennoksiin vihkoon tai kirjan rivien väliin. Niinpä työskentelimmekin enemmän suullisesti kuin kirjallisten käännösten pohjalta. Unkari on äärimmäisen tiivis kieli, ja jopa pariin kolmeen sanaan saa tungettua useamman relatiiviviittauksen, jotka on suomeksi pakko purkaa erillisiksi lauseiksi. Tästäkin syystä tehtävänantoja piti aika lailla pilkkoa, ja oli tarve avata ja täydentää tekstiä myös nuoren kielivaikeuden takia.

En mitenkään pystynyt suomalaistamaan kirjaa, vaikkakin jaksamisen ja tarpeen mukaan saatoin joskus vaihtaa unkarilaiset käsitteet vastaaviin suomalaisiin (esim. arkaaiset mittayksiköt, viljelykasvit, historian tapahtumat). Toki olisi ollut mukavaa ja hyödyllistä, jos tehtäviin sisältyvä monipuolinen tieto olisi liittynyt Suomen yhteiskuntaan ja kulttuuriin, mutta oma hupinsa oli sillä, että opimme vaikka mitä satunnaiselta kuulostavia unkarilaisia juttuja. Osa teemoista on tottakai universaaleja (esim. avaruus, fysiikka, ympäristö). Rahatehtävissä ero vaikutti ehkä selvimmin, sillä euron ja forintin lukualueet ovat eri suuruusluokkaa: unkarilaisen kuudesluokkalaisen kuukausiraha oli kirjan julkaisemisen aikaan 6000 forinttia, minkä luokan eurosummia ei kukaan suomalaislapsi pyörittele. Opettelimme tästä syystä myös valuuttalaskuja, ja pääsimme sitä kautta vertailemaan hinta- ja elintasoerojakin.

Kirjan rakenteesta

Kuutosluokan työkirjaa en saanut käsiini, vaan käytimme oppilaan oppikirjaa ja opettajan opasta.

Unkarilaista ja suomalaista matikkaa on vaikea vertailla, kuten kaikki vanettajat tietävät. Käytännössä Csahóczin ja kumppaneiden kirjasarja on aivan suoraa jatkoa VaNe-kirjoille. Tämä näkyy opetuksen etenemisen ja myös itse kirjan rakenteissa, havainnollistamis- ja työtavoissa, tehtävätyypeissä, jne. jne. jne. Jopa jotkut pelitkin ovat tuttuja, mutta nyt niitä laajennetaan uusien käsitteiden mukaisiksi.

Oppikirjassa jokaisen kappaleen alussa käydään ensin läpi teoriaa muutaman laajan esimerkin avulla, parhaimmillaan yhden esimerkin avaamiseen menee yli sivu. Aihe aina lähtee liikkeelle tutusta ja/tai konkreettisesta ja etenee siitä kohti uutta ja/tai abstraktia. Viitosella ja kuutosella on sääntöjä ja muita perusasioita ytimekkäinä "tämä sinun tulee osata" -tiivistelminä. Sääntö annetaan vasta, kun asia on käyty monella tavalla läpi, usein myös vastaesimerkin tai muun laajentavan hoksaamisen kautta.

Tehtävät etenevät perusharjoituksista vaikeampaan teoriaosuuden järjestystä noudattaen. Kappaleet ovat aika pitkiä, tehtäviä on paljon, ja ne ovat usein monikohtaisia, monivaiheisia ja monenlaista miettimistä vaativia. Tehtävät on värikoodattu: harmaat ovat kaikille tarkoitettuja perustehtäviä, ja niiden jälkeen tai välissä on jonkin verran soveltavia harmaa-vihreitä tehtäviä. Loppupuolella tulee monipuolista soveltamista vaativia vihreitä tehtäviä, ja joskus vielä lopuksi hurjan vaikeita vihreitä tähtitehtäviä. Ne ovat yleensä peräisin valtakunnallisista matikkakilpailuista, jotka Unkarissa ovat paljon suurempi juttu kuin meillä. Jokainen pääluku loppuu "Osaatko?" -tyyppiseen kertaavaan harjoituskokeeseen (sen nimikin on tudáspróba eli suunnilleen 'osaamistesti'). Unkarilaiseen tapaan se erottelee jyvät akanoista sikäli, että mekaanisesti suoritettavia perustehtäviä on vain vähän tai ei ollenkaan, osa tehtävistä on aika kinkkisiä vihreä-harmaita ja osa selvästi vihreitä tehtäviä.

Koska opiskelimme kotona omaksi iloksemme, ei tarvinnut yhtään pohtia tuntimääriä, arviointia ja muuta sellaista. Kokeita ja tuntisuunnitelmia materiaalipaketissa ehkä oli, mutta en käyttänyt niitä. Lopun itsearviointi/harjoituskoetehtävät teimme kertausmielessä, vaikeimmat tehtävät konkretisoiden tai muuten yhdessä pohtien.

Kirjan sisältö luvuittain

Seuraavassa esittelen lyhyesti kirjan sisältöjä poimien muutamia pääkohtia kustakin luvusta. Esimerkit ovat joko omia havainnollistuksia ja käännöksiä taikka opiskelijan vastauksia, koska en halua kopioida tänne kuvia kirjasta. Alkuperäisessä päälukuja ei ollut numeroitu, mutta tähän yhteenvetoon lisäsin numeroinnin, jotta aiheiden keskinäinen järjestys näkyy selvemmin.

1. Kombinatoriikkaa

Kaikki vargalaiset yläkoulun kirjat alkavat hauskoilla pienillä alkupaloilla, ja kuutosella aiheena on kombinatoriikka. Opetellaan tekemään puukaavioita ja laskemaan yhdistelmien määrä. Näitä käytetään välillä muidenkin aiheiden tehtävissä, eli kombinatoriikka kulkee mukana läpi koko kirjan.

 
2. Laskutoimituksia kokonaisluvuilla (laskujärjestys, monen tekijän peruslaskutoimitukset)

Peruslaskutoimitukset positiivisilla ja negatiivisilla luvuilla on vallan hieno osuus, jossa aloitetaan lukujen ominaisuuksien tutkimisesta, ja pidetään sen mukana myös laskutoimitusten yhteydessä. Negatiivisten lukujen osalta jatketaan suoraan siitä, mihin viitosella jäätiin, ja käytössä ovat samat punaiset kolikot ja siniset velkamerkit kuin aikaisemminkin. Vain muutaman kerran pääsin vähällä ja sain kirjoittaa ohjeeksi vain "Laske!", sillä muuten tehtävät olivat eri tavoin pohtivia, vertailevia, ryhmitteleviä, nurin niskoin kääntäviä ja ties mitä. Mukana mm. lukusuoria, joukko-oppia, avoimia lauseita, tilastoja, loogisia väitteitä ja ihan älyttömän paljon sanallisia tehtäviä. Varmasti koko ajan myös pohjustettiin seiskalla tulevaa, mutta miten – ehkä huomaan jatkumon vasta myöhemmin, kun asia tulee uudestaan eteen (tai sitten en).

Näytän seuraavassa, miten kahden negatiivisen luvun kerto- ja jakolasku esitetään (oppikirja, s. 21–22). Uusi vaikea aihe rakennetaan tutun, välineillä konkretisoidun asian päälle tilanteessa, jossa vastaan tulee niin abstrakti asia, ettei sitä välineillä voi konkretisoida.

Positiivisten kokonaislukujen kertolasku esitetään kuvana ja yhteenlaskuna. Sulkeita käytetään selvyyden vuoksi, jotta luvun etumerkki olisi helpompi hahmottaa. Opettajan kirja ohjeistaa käyttämään sulkeita niin kauan, kun oppilaalla on siihen tarvetta.

Jatketaan tilanteeseen, jossa kertoja on positiivinen ja kerrottava negatiivinen. Kuva tutuista velkamerkeistä sekä edelleen yhteenlasku tukena. Asia on tuttu 5. luokalta.

Kahden negatiivisen kokonaisluvun jakolaskukin on vanhan kertausta. Tässä ositusjako sanallisen selityksen kera. (Alkuperäisessä kuvassa oli vain vasemmanpuoleinen kuutioryhmä, joten lisäsin johdonmukaisuuden vuoksi nuolen ja jaetut kuutiot.)

Kahden negatiivisen kokonaisluvun jakolasku sisältöjakona, edelleen sanallisesti avattuna.(Alkuperäisessä kuvassa oli vain oikeanpuoleinen kuutioryhmä, joten lisäsin lähtötilanteen ja nuolen.)

Kahden negatiivisen kokonaisluvun kertolaskua ei voikaan enää esittää velkamerkeillä. Sen sijaan otetaan positiivinen kertoja, ja lähdetään pienentämään kerrottavaa ja katsotaan samalla pylväsdiagrammin avulla, miten tulo muuttuu.

Sama negatiivisella kertojalla. Tällä tavalla esitettynä ei ehkä ole niin vaikeaa hahmottaa sitä, että kahden negatiivisen luvun tulo onkin positiivinen. Sääntö annetaan näiden esimerkkien ja muutaman lisäharjoituksen jälkeen.

3. Geometriaa (mm. pisteen etäisyys, peilaus suoran suhteen, kulma, geometrista piirtämistä)

Tämä on vaativa jakso, koska se sisältää paljon enemmän kuin otsikon perusteella voisi ajatella. Meillä meni sen parissa koko kesä ja pitkälle syyskuullekin, koska jouduimme kertaamaan ja harjoittelemaan paljon.

Vargalainen matikka on selvästi van Hielen mallin mukaista, ja se on suomalaiselle niin vierasta, että joskus on vaikea hahmottaa sen syvempää ideaa, rakennetta ja suuntaa. Ajattelin, että on hyvä saavutus, jos teemme tehtäviä avoimin mielin pyörien van Hielen tasoilla 1–3 (1. tunnistaminen, 2. analysointi, 3. järjestäminen), mutta en pysty tietoisesti ja systemaattisesti rakentamaan tietä kohti tasoa 4 (päättely). Alkutasojen taitojen täytyy joka tapauksessa olla hyvin näpeissä ennen kuin pystyy edes järjestämään, joten tunnistamisen ja analysoinnin yli ei voi mitenkään kiirehtiä. Kun matemaattisen puheen tuottamisen kanssa on muutenkin haasteita, painotimme tekemistä ja jokaisen tehtävän avaamista niin, että minä puhuin ja nuori näytti mitä tarkoitti ja vastasi omalla tavallaan yksiselitteisiin kysymyksiin. Ilmeisesti teimme jotain oikein, sillä kyllä vain päättelyäkin alkoi pilkahdella aika vaikeidenkin tehtävien itsenäisessä ratkaisemisessa. Saavutimme siis paljon enemmän kuin olisin pari vuotta aikaisemmin rohjennut toivoakaan!

Eräs suuri ero unkarilaisen (myös vähemmän vargalaisen) ja suomalaisen geometrianopetuksen välillä on piirtämisen määrä. Luku sisältää laajan geometrisen piirtämisen (unk. szerkesztés) jakson, jossa käytetään pelkästään harppia ja suoraa viivainta, ei siis suorakulmatyökalua eikä aina astelevyäkään. Valitsin blankon paperin, jotta ajattelu olisi alusta alkaen aidosti geometrista eikä mekaanista. Tutuiksi tulivat mm. pisteen peilaaminen, normaalin ja kaikenlaisten puolittajien piirtäminen, kulman kopioiminen ym. Näiden avulla pystyy piirtämään ja ratkaisemaan jo vaikka mitä. Siihen nähden, että nuori oppi käyttämään harppia vasta 8. luokalla, jälki oli huolellista, ja ennen kaikkea piirtäminen alkoi lopulta tuntua mielekkäältä ja mieluisalta.

Valtavasta tehtävämäärästä on vaikea valita yksi esimerkki, kun tehtäviä oli niin monenlaisia. Alla kulman kopiointia ja puolitusta. Samassa kuvassa on monta tehtävää ja paljon apupiirroksia, mikä tekee piirroksesta vähän vaikeaselkoisen. (Oppikirja s. 132, t. 13.–14.)

Tehtävä 13. Piirrä 180° asteen kulma. Piirrä kopioimalla ja/tai puolittamalla a) 90°, b) 270°, c) 45°, d) 135° ja e) 225° suuruiset kulmat.

Tehtävä 14. Piirrä 60° asteen kulma. Piirrä kopioimalla ja/tai puolittamalla a) 30°, b) 120°, c) 240°, d) 15° ja e) 75° suuruiset kulmat. (Kohdat d ja e ovat vihreitä eli vaativampia.)

4. Lukuteoria (jaollisuus, monikerrat)

Tämä on lyhyt mutta perusteellinen luku, jossa käsitellään myös erilaisia ”rytmejä” eli tietyn kaavan mukaan toistuvia ilmiöitä (esim. tanssiaskeleet, karkausvuosi, vuoroviljely ym.) Sisällöt ovat suoraa jatkoa kaikkeen VaNe-kirjojen jaollisuuteen, mutta nyt sukelletaan syvemmälle pohjustaen tulevaa yhtälönratkaisua: jaollisuussäännöt, aito jakaja, alkuluku, suurin yhteinen tekijä... Loppua kohti tehtävät ovat jo aika  vaikeita, ja yhdessä ongelmassa saattaa tarvita myös kombinatoriikkaa, logiikkaa ja joukko-oppia. Usein ratkaisimme niitä yhdessä pohtien ja välineillä tai piirtämällä kokeillen.

Seuraavassa on esimerkki harmaasta tehtävästä (oppikirja s. 95, t. 4). Mielestäni jo tämäkin vaatii melkoisesti lukujenpyörittelytaitoja. Viimeinen kohta on vihreä.

Kortteihin on kirjoitettu neljän tekijän tuloja. Täydennä puuttuvat luvut niin, että saat taulukon vasempaan sarakkeeseen merkityn luvun monikerran. Kaikkien lukujen tulee olla yksinumeroisia, positiivisia kokonaislukuja!

5. Geometriaa (kolmiot ja säännölliset monikulmiot)

Kolmioita käsittelevä osuus on laaja ja vaativa kuten edellinenkin geometriajakso: paljon askartelua ja  piirtämistä sekä monipuolisia ja holistisia tehtäviä.

Itse sain suurimmat ahaa-elämykset juuri kolmioiden suhteen. En ollut aiemmin sisäistänyt, että kolmioihin liittyen voisi käydä läpi näin monenlaisia asioita suhteessa kulmaan, ympyrän keskuskulmaan ja säännöllisiin monikulmioihin – erityisesti tasasivuisen kolmion erityistapaukseen! Tykkäsin erityisesti kolmioiden ja myös muiden monikulmioiden piirtämisestä ympyrän kehälle. Mitään tällaista en ollut ikinä aikaisemmin tehnyt (tai jos olen, se oli täydellisesti unohtunut), ja on mahtavaa ajatella, että joku on laatinut näin upeita geometrian opetuksen kokonaisuuksia!

Esimerkkinä harjoituskokeen ensimmäinen (eli helpoin) tehtävä, joka tulee ratkaista pelkkää harppia ja suoraa viivainta käyttäen. Viivaimella ei saa mitata, vaan mitta pitää ottaa harppiin.

Piirrä kolmio, jonka kaikki kulmat sijoittuvat saman, säteeltään 2 cm suuruisen ympyrän kehälle. Mittaa kolmannen sivun pituus, kun kahden sivun pituudet ovat a) 3 cm ja 3,5 cm, b) 2 cm ja 2 cm, c) 2 cm ja 4 cm, d) 3 cm ja 5 cm. (Oppikirja s. 137, t. 13.) Kuten näkyy, emme jostain syystä toteuttaneet niitä samaan ympyrään. Ehkä siksi, ettei asian hahmottaminen tässäkään vaiheessa ollut ihan automatisoitunut.

6. Laskutoimituksia murtoluvuilla (myös desimaaliluvut kuuluvat tähän)

Murto- ja desimaaliluvuilla harjoitellaan sekä yhteen- ja vähennyslaskua että kerto- ja jakolaskua, ja negatiiviset luvut ovat mukana koko ajan. Desimaaliluvut ovat Unkarissa "kymmenysmurtolukuja", ja yhteys murtolukuihin on paljon tiiviimpi kuin meillä.

Edelleen on paljon myös joukko-oppia, loogisia väitteitä ja etenkin kombinatoriikkaa. Samoin tasaisesti on myös geometriaan liittyviä tehtäviä piirtämisineen päivineen. Ei varmaan tarvitsisi toistaa tätä joka aiheen yhteydessä, mutta olen edelleenkin hämmästynyt ja vaikuttunut siitä, miten monipuolisia, oivaltavia ja suorastaan oppilaan omaan oivaltamiseen "pakottavia" nämä yhdistelevät tehtävätyypit ovat.

Kahden murtoluvun jakolasku on uusi ja jo aika vaikea asia. Se esitellään seuraavassa esimerkissä paitsi sisältöjaon myös käänteislaskutoimitusten ja avoimen lauseen avulla. (Pahoittelen, ettei blogialusta osaa näyttää kaavaeditorilla tehtyjä murtolukuja, joten on pakko käyttää vinoviivaa.)

Julcsi-täti pakkaa joulumyyjäisiä varten 2 1/2 kg saksanpähkinöitä 1/4 kg pusseihin.
Kuinka monta pussia saadaan?  (Oppikirja, s. 171–172, esim. 1.)

Havainnollistetaan pelkistetysti, miltä näyttää
2  1/2 kg säkki ja 1/4 kg pussi saksanpähkinöitä.

Pusseja voi asetella täsmälleen säkin päälle, kuten kuvassa näkyy. Todetaan, että 1/4 sisältyy lukuun 2 1/2 tasan 10 kertaa.

Esitetään kaaviona, mitä yllä oleva jakolasku tarkoittaa. Todetaan, että kun 5/2  jaetaan luvulla 1/4, saadaan jokin luku, joten tämä luku kerrottuna luvulla 1/4 tuottaa tuloksi 5/2.

Matematiikan kielellä saadaan avoin lause, joka avataan vielä sanallisesti. (En saanut tiivistä ja yksiselitteistä unkarilaista ilmausta suomennetuksi tähän hätään tuon paremmin, toivottavasti tulee ymmärretyksi.)

Tämän esityksen jälkeen päädytään ohjeistamaan kahden murtoluvun jakolasku ihan kuten suomalaisissakin kirjoissa eli muuttamalla se kertolaskuksi ja ottamalla jakajasta käänteisluku. Yllä esitettyyn kaavioon ja avoimiin lauseisiin ei enää palata. Tästä päättelin, että oppilaalle tarjotaan mahdollisuus ymmärtää, mistä käänteisluvulla kertominen juontaa, mutta päätelmäketjua ei tarvitse tuottaa itse.

Viimeistään murtoluvuilla laskettaessa tarvitaan kaikkea lukuteoriajaksolla opittua. Kun jaollisuus ja monikerrat ovat hyvin hallussa, pystytään pelaamaan hyvinkin hankalan näköisillä murtoluvuilla.

Suomesta poikkeavia sisältöjä ovat mm. päättyvien ja päättymättömien desimaalilukujen käsite ja jälkimmäisten jaksojen tutkiminen sekä alla näkyvät ”kerrosmurtoluvut”. Niiden ratkaisemiseen sai aikuinenkin keskittyä ihan tosissaan, mutta ne olivatkin loppupään vihreitä tehtäviä. Vaikka ne näyttävät hurjilta, ei kyse ole muusta kuin murtolukulaskujen kirjoittamisesta jakoviivalla sulkeiden ja tavallisen jakomerkin sijaan. Alla vihreä tähtitehtävä (oppikirja s. 174, t. 11e).

Meillä lukuteoriajakson ennakoimaton seuraus oli, että nuori alkoi supistaa muutenkin kuin murtolukujen yhteydessä. Joskus ratkaisut ovat aika lennokkaita, kuten tuosta loppuvaiheen vinksauttelusta huomaa, ja tarkistaja joutuu kurtistelemaan kulmiaan tovin tai toisenkin.

7. Geometriaa (nelikulmiot ja suorakulmaiset särmiöt)

Tässä luvussa piirtämistä ja askartelemista on vähemmän kuin aiemmissa, ja se on myös suppeampi ja aritmeettisempi, koska mukana on esim. kappaleen vaipan ja tilavuuden laskemista sekä mittayksiköiden muunnoksia.

Alla esimerkki näppärästä tehtävästä, joka ei periaatteessa ole vaikea, mutta vaatii sekä hahmottamista että erilaisten käsitteiden hallintaa (oppikirja s. 185, t. 4).

Piirrä vihkoon kaksi yhdensuuntaista suoraa 2 cm etäisyydelle toisistaan. Piirrä nelikulmioita, joiden kaikki kulmat ovat näillä kahdella suoralla. Nelikulmiolla tulee olla a) suorakulma, b) kaksi yhdensuuntaista sivua, c) kaksi symmetria-akselia, d) kaksi vierekkäistä kulmaa ovat tylppiä kulmia, e) kaksi vastakkaista kulmaa ovat teräviä kulmia, f) kupera kulma.

8. Avoimet lauseet

Avoimia lauseita eli yhtälönratkaisun pohjustusta odotin kieli pitkällä, ja luku sisältääkin lyhyydestään huolimatta paljon pohdittavaa. Huomionarvoista suomalaiseen matikkaan verrattuna on, että tuntematonta ei vielä tässäkään vaiheessa merkitä kirjaimella, vaan sen tilalla on jokin symboli (neliö, kolmio, kala tms.). Ketjulasku ei ollut vilahtanut tätä ennen kirjassa kuin kerran, mutta nyt se on suora väylä avointen lauseiden ratkaisemiseen. Ensin ketjulaskuihin mentiin valmiiksi piirrettyjen kaavioiden avulla, sitten pelkän sanallisen kuvauksen perusteella. 

Kaaviossa vasemmalla olevan tuntematonta merkitsevän neliön eli luvun peittävän "kortin" kuuluisi olla loppuun asti tyhjä, ja tuntemattoman arvo tulisi merkitä sen alle. Nuori kuitenkin ratkaisi sen näin, enkä itsekään jaksa piirtää oikeaoppista esimerkkikaaviota (oppikirja s. 229, t. 2).

Avointen lauseiden tässä vaiheessa ei siis anneta yhtään kaavaa, vaan tuntematon ratkaistaan pelkästään päättelemällä. Tässä esimerkki työtavasta, joka teoriaosuudessa käydään läpi muutaman esimerkin avulla. Tähän abstraktion tasoon päästään ketjulaskujen ja konkreettisempien (esim. kuvallisten) tehtävien kautta. (Oppikirja, s.  229, t. 3.)

Tässä onneksi on jaksettu kuljettaa "korttia" eli tuntematonta mukana koko ajan ilman, että on lähdetty liian varhaisessa vaiheessa sijoittamaan arvoa sen paikalle.

Helpoimpiakaan avointen lauseiden tehtäviä ei pysty ratkaisemaan mekaanisesti tai arvaamalla, vaan niissä joutuu ajattelemaan koko ajan. Loppupään monivaiheiset sanalliset tehtävät olivat jo hyvinkin vaativia, myös harjaantumattomalle aikuiselle. Vaikkemme saaneetkaan kaikkia yhdessä ratkaistuksi, antoi tämä jakso vahvan pohjan tulevaa yhtälönratkaisua varten. Periaatteessa yhtälönratkaisun idea on hallussa jo nyt, kuten yllä olevasta esimerkistä näkee, merkintätavat vain ovat jatkossa erilaiset.

 

9. Suhdeluku, prosentti, tilastot

Kirjan viimeinen luku on suomalaisen 6. luokan matikan sisällöt opiskelleelle laskemisen osalta helppo, varsinkin kun prosentti on tuttu, mutta uusi käsite on suoraan verrannollisuus. Unkarilaisille prosentit tulevat hyvin lyhyesti jossain tämän luvun keskellä, ei siis murto- ja desimaalilukujen yhteydessä. Koska unkarilaisella oppilaalla on vahva pohja rationaaliluvuista, ne opittaneen melkein heittämällä? Kaikkea tätä harjoitellaan oikean elämän elinkustannuksiin liittyvillä tehtävillä, joissa lasketaan myös keskiarvoja, ja lukualue on forintin mukainen (satoja tuhansia). Vihreissä tehtävissä tulee jopa lainan korkoja!

 

Mitä jäi käteen ja miten tästä eteenpäin?

Uskallan sanoa, että vargalaista kuutosen kirjaa käydessä olemme molemmat oppineet enemmän matemaattista ajattelua kuin minkään aiemman vuoden pituisen jakson aikana. Nuori pääsi irti 8.–9. luokilla omaksumastaan mekaanisesta laskemisesta, ja vaikkei ulkoiseen laskutaitoon tullut kovin paljon uutta, saatiin sen sijaan jotain vaikeammin havaittavaa, saati mitattavaa: syvyyttä, joustavuutta ja moninäkökulmaisuutta. Suurimpia ilonaiheitani on ollut, kun nuori on monta kertaa huudahtanut: ”Hei, kato, nää meneekin tälleen!” tai ”Oho, näistä tuli tämä sama, vaikka ei olisi alussa arvannut!” On tosi jännittävää nähdä, minne päädymme tällä tiellä. 

Meillä oli ainutlaatuinen tilaisuus panostaa kotimatikkaan nuoren erityisammattikoulun TUVA-vuoden aikana, kun läksyjä, kokeita eikä matikanopetusta ollut koulussa koko vuonna (matikan kertaustehtäviä oli välillä). Oli ihanaa, ettei ollut kiire esim. potenssiin ja neliöjuureen, toisen asteen yhtälöihin tai polynomeihin, vaan saimme rakentaa vahvaa kokemusta ja ymmärrystä. Olemme jo aloittaneet seiskan matikan, ja se on ihan huomattavasti abstraktimpaa kuin mitkään aiemmat sisällöt. Minulle se tarkoittaa enemmän työtä, sillä joudun laskemaan kaikki tehtävät itse läpi ensin, mutta toisaalta on ihan älyttömän kutkuttavaa huomata, miten 1.–6. luokkien sisällöt näkyvät 7. luokan teoreettisemman aineksen taustalla ja miten ne asiat, joiden parissa työskentelemme, ennakoivat tulevaa.

Ainakin vargalainen 7. ja 8. luokan matikka olisi mukava käydä nuoren kanssa kokonaan läpi seuraavan 2–3 vuoden aikana. Se tarjoaa varmasti hyvät eväät sekä Spesian merkonomiopintoihin että tietysti kaikkeen elämässä tarvittavaan ajatteluun, laskemiseen ja ongelmanratkaisuun.

***

Tähän kaikkeen emme olisi mitenkään kyenneet ilman suomalaistettuja VaNe-materiaaleja. Ne avasivat tien siihen, että pystyimme jatkamaan unkarinkielisten materiaalien parissa. Suuri kiitos siis kaikille vargalaisen matikan parissa elämäntyönsä tehneille ja tekeville ihan sieltä Tamás Vargasta tähän päivään asti! 💗